Hochwasserwelle

Im Bereich eines Vorfluters werden die Grundwasserhöhen maßgeblich durch die Vorfluthöhen bestimmt. Wechselnde Vorfluthöhen übertragen sich mit abnehmender Amplitude und zeitlicher Verzögerung auf das Grundwasser. Es werden zwei Lösungsverfahren erläutert, die auf der Grundgleichung der eindimensionalen instationären Grundwasserströmung basieren.

$$\frac{{\partial }^{2}h}{\partial x^2}=\frac{S}{T}\frac{\partial h}{\partial t}$$

Die zeitliche und räumliche Änderung der Grundwasserhöhen ist durch den Parameter S/T vorgegeben. Die Ganglinien können wie ein Pumpversuch ausgewertet werden (inverse Fragstellung), aber es kann nur das Verhältnis S zu T  berechnet werden. Um T zu ermitteln, muss S bekannt sein oder abgeschätzt werden.

Um den Speicherkoeffizient S quantifizieren zu können, muss neben den instationären Grundwasserhöhen auch der Grundwasserfluss bekannt sein. Somit kann der Speicherkoeffizient nur bei instationären Verhältnissen ermittelt werden, wie das beispielsweise bei einem Pumpversuch der Fall ist.

Sinus-Funktion

Eine Hochwasserwelle kann in Näherung durch eine Sinus-Funkion beschrieben werden. Die ideale Anwendung wäre der Tidenbereich. Aber auch (periodisch) schwankende Vorfluthöhen weisen sinoidale Ganglinien auf. Die Lösung für die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Schwingung lautet:

$$h\left(x,t\right)=h_o{e}^{-\mathrm{\beta x}}\text{cos}(\mathrm{\omega t}-\mathrm{\beta x})$$ $$\beta =\sqrt{\frac{\omega }{2}\frac{S}{T}}\text{\hspace{1em},\hspace{1em}}\omega =\frac{2p}{t}$$

h, h0

:

Grundwasserhöhe über stationäre bzw. mittlere Grundwasserhöhe.

Es wird hier der Cosinus verwendet, damit die Zeit t vom Maximum der Amplitude gerechnet wird.

Es ist zu sehen, dass der Quotient S/T gleichermaßen sowohl die Abnahme der Amplitude als auch die Phasenverschiebung bestimmt.

Um S/T zu ermitteln, werden die Ganglinien von zwei Messstellen h₁(t₁) und h₂(t₂) benötigt, wobei die erste Messstelle näher am Vorfluter steht. Prinzipiell kann auch die Ganglinie des Vorfluters verwendet werden. Der Abstand der Messstellen ist Δx. Für die Amplitude einer Hochwasserwelle werden folgende Werte abgelesen (Abb. 1):

Differenz der Amplituden:	$$\mathrm{\Delta h}=h_2-h_1$$
Zeitliche Verzögerung:	$$\mathrm{\Delta t}=t_2-t_1$$

Abb. 1: Ablesen von Δh und Δt.

Gegebenenfalls kann τ, die Dauer einer Periode, in die Rechnung mit einbezogen werden. Es wird jedoch empfohlen, T nur anhand von Δh und Δt zu bestimmen, da diese Differenzen im Vergleich zu τ genau abgelesen werden können. Die Transmissivität wird dann folgenderweise berechnet, wobei S als bekannt vorausgesetzt wird.

$$T\left(\tau ,h\right)=\frac{\pi }{\tau }{\left(\frac{\mathrm{\Delta x}}{\text{ln }\frac{h_1}{h_2}}\right)}^2\cdot S$$ $$T\left(\tau ,t\right)=\frac{\tau }{4\pi }\cdot \frac{{\mathrm{\Delta x}}^2}{{\mathrm{\Delta t}}^2}\cdot S$$ $$T\left(\mathrm{\Delta h},t\right)=-\frac{{\mathrm{\Delta x}}^2}{2\mathrm{\Delta t}}\cdot \frac{1}{\text{ln }\frac{h_1}{h_2}}\cdot S$$

Stehen mehrere Messstellen auf einem Profil quer zum Vorfluter zu Verfügung, dann kann auf diese Weise die Transmissivität abschnittsweise bestimmt werden.

Um die Reichweite R zu bestimmen, muss eine maximale Schwankungshöhe festgelegt werden, die hier als h_soll  bezeichnet wird, z.B. h_soll ≤ 1 cm. Für h_soll=0 wäre die Reichweite unendlich.

$$h_{\text{soll}}=h_o{e}^{-\mathrm{\beta x}}\Rightarrow R=-\ln \frac{h_{\text{soll}}}{h_o}\sqrt{\frac{\tau }{\pi }\frac{T}{S}}$$

 

Beispiel 1: Zeitliche Verzögerung einer Hochwasserwelle

Für das Rhein-Hochwasser vom Januar 1995 soll abgeschätzt werden, mit welcher zeitlichen Verzögerung das Grundwasser im Hinterland ansteigt. Es wird die Reichweite der Hochwasserwelle bestimmt. Die vorgegebenen Werte sind nur geschätzt.

Gegenben:	S/T	=	1 s/m2
	Δx	=	2 km
	h0	=	5 m
	τ	=	8 Tage
Gesucht:	Δt

$$T\left(\tau ,t\right)=\frac{\tau }{4\pi }\frac{{\mathrm{\Delta x}}^2}{{\mathrm{\Delta t}}^2}\cdot S\Rightarrow$$ $$\mathrm{\Delta t}=\sqrt{\frac{\tau }{p}}\frac{\mathrm{\Delta x}}{2}\frac{S}{T}=\sqrt{\frac{\mathrm{6,9}\cdot {\text{10}}^5}{\pi }}\frac{2000}{2}1=\mathrm{4,7}\cdot {10}^{5}s=\mathrm{5,4}\text{ Tage}$$

Die Dauer der Periode τ einer „Hochwasser-Schwingung“ kann nur geschätzt werden. Da aber τ in der Wurzel steht, ist dieser Parameter nur wenig sinsitiv. Es wird deutlich, dass mit zunehmender Dauer des Hochwasserereignisses das Maximum des Grundwasseranstiegs später eintrifft.

Die Reichweite der Hochwasserwelle, ab der die Schwankungen weniger als 1 cm betragen, ist:

$$R=-\text{ln}\frac{h_{\text{soll}}}{h_o}\sqrt{\frac{\tau }{\pi }\frac{T}{S}}=-\text{ln}\frac{\mathrm{0,01}}{5}\sqrt{\frac{\mathrm{6,9}\cdot {10}^5}{\pi }\cdot 1}=2.915\text{ m}$$

 

Beispiel 2: Auswertung einer Hochwasserwelle

In Plittersdorf bei Rastatt fand am 08.07.1994 ein kleines Hochwasserereignis statt, bei dem der Rhein kurzzeitig um rund 1,2 m anstieg. Der Durchgang wurde im Rhein und in drei Messstellen aufgezeichnet (Tab. 1). Es handelt sich um einen ungespannten Aquifer, so dass hier ein Speicherkoeffizient von rund S = 0,15 angenommen werden kann.

Es werden die Transmissivitäten abschnittsweise bestimmt, indem die Hochwasserwelle durch eine Sinus-Funktion approximiert wird (Rhein – Messstelle 1, Messstelle 1  – Messstelle 2, …).

Tab. 1: Grundwasserhöhen einer Hochwasserwelle im Bereich Plittersdorf bei Rastatt (aus Wildenhof 1995). Bereich des Maximums ist fett umrandet.

			Grundwassermesstellen
		Rhein	1	2	3
Entfernung		0	45	290	535
Datum	Uhrzeit	GW-Höhe [m ü. NN]
07.07.1994	19:00	111,185	110,747	110,736	110,694
07.07.1994	20:00	111,234	110,755	110,738	110,693
07.07.1994	21:00	111,264	110,767	110,740	110,693
07.07.1994	22:00	111,363	110,777	110,744	110,694
07.07.1994	23:00	111,515	110,799	110,749	110,696
07.07.1994	24:00	111,686	110,831	110,757	110,698
08.07.1994	1:00	111,832	110,867	110,768	110,701
08.07.1994	2:00	111,911	110,900	110,779	110,705
08.07.1994	3:00	111,927	110,924	110,791	110,709
08.07.1994	4:00	111,944	110,947	110,802	110,714
08.07.1994	5:00	111,929	110,965	110,813	110,718
08.07.1994	6:00	111,873	110,973	110,821	110,722
08.07.1994	7:00	111,712	110,967	110,827	110,725
08.07.1994	8:00	111,550	110,950	110,830	110,728
08.07.1994	9:00	111,492	110,937	110,831	110,730
08.07.1994	10:00	111,459	110,930	110,831	110,731
08.07.1994	11:00	111,374	110,918	110,832	110,732
08.07.1994	12:00	111,297	110,903	110,829	110,732
08.07.1994	13:00	111,245	110,889	110,827	110,733
08.07.1994	14:00	111,200	110,877	110,825	110,733
08.07.1994	15:00	111,181	110,867	110,821	110,733
08.07.1994	16:00	111,215	110,863	110,818	110,732
08.07.1994	17:00	111,281	110,866	110,817	110,732
08.07.1994	18:00	111,311	110,870	110,816	110,732
08.07.1994	19:00	111,305	110,870	110,816	110,731
08.07.1994	20:00	111,303	110,871	110,816	110,732
08.07.1994	21:00	111,308	110,870	110,815	110,732
08.07.1994	22:00	111,278	110,868	110,815	110,732
08.07.1994	23:00	111,227	110,860	110,814	110,731
08.07.1994	24:00	111,242	110,857	110,813	110,731

Die Grundwasserhöhen aus Tab. 1 werden graphisch aufgetragen (Abb. 2). Es ist zu sehen, dass die Hochwasserwelle mit einer Sinus-Funktion approximiert werden kann. Die stationäre Grundwasserhöhe (von der Hochwasserwelle unbeeinflusst) wird mit 110,70 m geschätzt.

Abb. 2: Bestimmung von Δh, Δt und der stationären Grundwasserhöhe.

Die Grundwasserhöhe h – 110,70 m und die Differenzen Δh und Δt werden anhand der Ausgangsdaten (Tab. 1) ermittelt und sind in Tab. 2 zusammengefasst. Diese Werte aus Tab. 2 werden in die Gleichung eingesetzt. Damit ergeben sich für einen Speicherkoeffizienten von 0,15 folgende Transmissivitäten:

Tab. 2: Ausgangsdaten zur Berechnung der Transmissivitäten.

	x [m]	t [h]	Δ [h]	h [m]	h - 110,70 [m]
Rhein	0	0	–	111,944	1,244
Messstelle 1	45	2,0	t1 – t0 = 2,0	110,973	0,273
Messstelle 2	290	6,5	t2 – t1 = 4,5	110,832	0,132
Messstelle 3	535	12,5	t3 – t2 = 6,0	110,732	0,033

$$T_{\mathrm{0,1}}\left(h,t\right)=-\frac{{\mathrm{\Delta x}}^2}{2\mathrm{\Delta t}}\cdot \frac{1}{\text{ln}\frac{h_0}{h_1}}\cdot S=-\frac{{45}^2}{2\cdot \mathrm{2,0}\cdot 3600}\cdot \frac{1}{\text{ln}\left(\frac{\mathrm{1,244}}{\mathrm{0,273}}\right)}\cdot \mathrm{0,15}=\mathrm{0,014}\frac{m^2}{s}$$ $$T_{\mathrm{1,2}}\left(h,t\right)=-\frac{{\mathrm{\Delta x}}^2}{2\mathrm{\Delta t}}\cdot \frac{1}{\text{ln}\frac{h_1}{h_2}}\cdot S=-\frac{{245}^2}{2\cdot \mathrm{4,5}\cdot 3600}\cdot \frac{1}{\text{ln}\left(\frac{\mathrm{0,273}}{\mathrm{0,132}}\right)}\cdot \mathrm{0,15}=\mathrm{0,380}\frac{m^2}{s}$$ $$T_{\mathrm{2,3}}\left(h,t\right)=-\frac{{\mathrm{\Delta x}}^2}{2\mathrm{\Delta t}}\cdot \frac{1}{\text{ln}\frac{h_2}{h_3}}\cdot S=-\frac{{245}^2}{2\cdot \mathrm{6,0}\cdot 3600}\cdot \frac{1}{\text{ln}\left(\frac{\mathrm{0,132}}{\mathrm{0,033}}\right)}\cdot \mathrm{0,15}=\mathrm{0,150}\frac{m^2}{s}$$

Die Ergebnisse sind in Tab. 3 zusammengefasst. Zum Vergleich wurden die Ergebnisse, die anhand anderer Verfahren ermittelt wurden, mit aufgeführt.

Tab. 3: Berechnete Transmissivtäten.

Bereich				Transmissivität, T [m2s], für S=0,15
			x [m]	Beispiel 2	num. Modell
Rhein	bis	Messstelle 1	0 bis 45	0,014	0,14 1)
Messstelle 1	bis	Messstelle 2	45 bis 290	0,38	0,14
Messstelle 2	bis	Messstelle 3	290 bis 535	0,15	0,0042 2)

1)	Zusätzlich wurde für die Kolmationsschicht des Rheins eine Transmissivität von T=2·10 -5 bis 2·10 -6 berücksichtigt.
2)	Messstelle 3 ist in einer geringer durchlässigen Linse ausgebaut.