Stationär (Dupuit-Thiem 1863)

Die Modellfunktion nach Dupuit-Thiem stellt einen Zusammenhang zwischen den entfernungsabhängigen Absenkungen s(r) und dem Parameter Transmissivität T her. Der Faktor Zeit und somit auch der Speicherkoeffizient bleiben unberücksichtigt. Es werden zwei Aquifertypen unterschieden:

	gespannt		ungespannt
	$$h_2-h_1=\frac{Q}{2\mathrm{\pi T}}\cdot \text{ln}\frac{r_2}{r_1}$$		$${h_2}^2-{h_1}^2=\frac{Q}{\pi k_f}\cdot \text{ln}\frac{r_2}{r_1}$$

hn

:

Grundwasserhöhe in der Entfernung rn, gemessen von der Aquifersohle.

Mit der Dupuit-Thiem-Funktion werden stationäre Pumpversuche ausgewertet, jedoch ist das Erreichen der stationären Strömung kein notwendiges Kriterium. Mit zunehmender Absenkung verschiebt sich die Absenkungsgerade parallel zur Radius-Achse nach rechts, wobei die Zunahme mit der Zeit geringer wird. Da für die Transmissivität nur die Steigung der Geraden relevant ist, können mit diesem Ansatz auch instationäre Pumpversuche ausgewertet werden (Abb. 1).

Die Dupuit-Thiem-Funktion ist eine exakte Lösung für einen inselförmigen Aquifer, der durch ein Gewässer begrenzt ist. Für einen unbegrenzten Aquifer ist die Dupuit-Thiem-Gleichung eine Näherungslösung, die im Bereich der Reichweite R ungenau wird. Während bei der exakten Funktion nach Theis die Absenkung für r → ∞ asymp­totisch gegen Null geht, schneidet die Funktion nach Dupuit-Thiem die Radius-Achse. Im Schnittpunkt ist die Absenkung Null, so dass dort die Reichweite des Absenkungstrichters definiert ist. Mit dem Näherungswert R für die Reichweite ergibt sich eine spezielle Form der Dupuit-Thiem-Funktion:

	gespannt		ungespannt
	$$H-h=\frac{Q}{2\mathrm{\pi T}}\cdot \text{ln}\frac{R}{r}$$		$$H^2-h^2=\frac{Q}{\pi k_f}\cdot \text{ln}\frac{R}{r}$$

H	:	Grundwasserhöhe zu Beginn des Pumpversuches, gemessen von der Aquifersohle.
R	:	Reichweite des Absenkungstrichters.

In der Dupuit-Thiem-Funktion für den ungespannten Aquifer ist die Grundwasserhöhe zugleich die durchflossene Aquifermächtigkeit, also die Differenz zwischen Aquifersohle und Grundwasserspiegel.

Abb. 1: Absenkungstrichter nach der Näherungslösung von Dupuit-Thiem.

k_f-Wert-Bestimmung durch Einsetzen in die Gleichungen

Die Gleichungen werden nach k_f umgestellt:

	gespannt		ungespannt
	$$k_f=\frac{Q}{2\mathrm{\pi M}(h_2-h_1)}\cdot \text{ln}\frac{r_2}{r_1}$$		$$k_f=\frac{Q}{\pi ({h_2}^2-{h_1}^2)}\cdot \text{ln}\frac{r_2}{r_1}$$

Es werden zwei Wertepaare h₁(r₁) und h₂(r₂) in die Gleichung eingesetzt.

k_f-Wert-Bestimmung anhand graphischer Verfahren

Das graphische Verfahren nutzt den linearen Zusammenhang zwischen s und ln r. Jedoch gilt dieser lineare Zusammenhang nur für den gespannten Aquifer (Abb. 1). Bei einem ungespannten Aquifer müssen die Absenkungen zunächst korrigiert werden, wobei die korrigierten Absenkungen s' wie Messwerte eines gespannten Aquifers behandelt werden:

$$s\text{'}=s-\frac{s^2}{2H}$$

s	:	gemessene Absenkung (ungespannt)
s'	:	korrigierte Absenkung (gespannt)
H	:	Mächtigkeit des ungespannten Aquifers

Abb. 2: Graphische Auswertung anhand einer Regressionsgeraden.

Die Messwerte werden halblogarithmisch aufgetragen (s→ln r). Anschließend wird eine Regressionsgerade durch die Messwerte gelegt, wobei die Summe der Abweichungsquadrate zwischen gemessener und theoretischer Absenkung minimal sein soll. Die Steigung der Geraden ist ein Maß für die Transmissivität. Es können prinzipiell zwei beliebige Wertepaare, die auf der Geraden liegen, abgelesen und in die Gleichung eingesetzt werden. Das Verfahren vereinfacht sich, wenn der Abstand zwischen r₁ und r₂ genau eine Dekade beträgt, da in diesem Fall der Term

$$\text{ln}\frac{r_2}{r_1}=\text{ln}\frac{\text{100}}{\text{10}}=\text{ln}\frac{\text{10000}}{\text{1000}}=\text{ln 10}=\mathrm{2,3}$$

ist. Für diese Dekade wird die Differenz der Grundwasserhöhen h₂ – h₁ = Δh abgelesen (Abb. 2) und in die vereinfachte Formel eingesetzt:

gespannter Aquifer:

$$k_f=\frac{\mathrm{2,3}\cdot Q}{2\mathrm{\pi M\Delta h}}$$

 

Beispiel 1: Stationärer Pumpversuch im ungespannten Aquifer

Bei einem Pumpversuch in einem ungespannten Aquifer wurden nach drei Tagen Pumpdauer mit einer konstanten Förderrate stationäre Absenkungen in den Beobachtungsmessstellen gemessen (Abb. 3).

Abb. 3: Profil durch den ungespannten Aquifer..

Fortsetzung folgt …