Gespannter Aquifer (Theis 1935)
Die Modellfunktion nach Theis beschreibt mathematisch exakt die instationäre Strömung in einem gespannten Aquifer:
Das Integral W(u) kann nicht analytisch gelöst werden und wird allgemein durch eine Reihe ersetzt (Kapitel „Gespannter Aquifer“). Häufig ist es auch möglich, Integrale, die analytisch nicht gelöst werden können, durch rationale Funktionen zu approximieren (Abramowitz & Stegun 1970). So kann W(u) durch folgende rationale Funktion substituiert werden, wobei der Fehler weniger als 2·10-7 beträgt:
a0 = | –0,57721566 | a3 = | 0,05519968 | |
a1 = | 0,99999193 | a4 = | –0,00976004 | |
a2 = | –0,24991055 | a5 = | 0,00107857 |
b1 = | 8,5733287401 | c1 = | 9,57332234545 | |
b2 = | 18,0590169730 | c2 = | 25,6329561486 | |
b3 = | 8,6347608925 | c3 = | 21,0996530827 | |
b4 = | 0,2677737343 | c4 = | 3,9584969228 |
Mit dieser Formel kann W(u) für verschiedene u berechnet und tabellarisch zusammengefasst werden (Tab. 1), so dass beispielsweise die Absenkung (direkte Fragestellung) leicht berechnet werden kann.
Tab. 1: Well-Function , W(u) der Theis-Funktion
u | W(u) | u | W(u) | u | W(u) | u | W(u) |
1,0 · 10-6 | 13,24 | 1,0 · 10-4 | 8,63 | 1,0 · 10-2 | 4,04 | 1,0 · 100 | 2,19 · 10-1 |
1,26 · 10-6 | 13,01 | 1,26 · 10-4 | 8,40 | 1,26 · 10-2 | 3,81 | 1,26 · 100 | 1,44 · 10-1 |
1,59 · 10-6 | 12,78 | 1,59 · 10-4 | 8,17 | 1,59 · 10-2 | 3,58 | 1,59 · 100 | 8,82 · 10-2 |
2,00 · 10-6 | 12,55 | 2,00 · 10-4 | 7,94 | 2,00 · 10-2 | 3,36 | 2,00 · 100 | 4,92 · 10-2 |
2,51 · 10-6 | 12,32 | 2,51 · 10-4 | 7,71 | 2,51 · 10-2 | 3,13 | 2,51 · 100 | 2,45 · 10-2 |
3,16 · 10-6 | 12,09 | 3,16 · 10-4 | 7,48 | 3,16 · 10-2 | 2,91 | 3,16 · 100 | 1,07 · 10-2 |
3,98 · 10-6 | 11,86 | 3,98 · 10-4 | 7,25 | 3,98 · 10-2 | 2,69 | 3,98 · 100 | 3,87 · 10-3 |
5,01 · 10-6 | 11,63 | 5,01 · 10-4 | 7,02 | 5,01 · 10-2 | 2,47 | 5,01 · 100 | 1,13 · 10-3 |
6,31 · 10-6 | 11,40 | 6,31 · 10-4 | 6,79 | 6,31 · 10-2 | 2,25 | 6,31 · 100 | 2,53 · 10-4 |
7,94 · 10-6 | 11,17 | 7,94 · 10-4 | 6,56 | 7,94 · 10-2 | 2,03 | 7,94 · 100 | 4,01 · 10-5 |
1,0 · 10-5 | 10,94 | 1,0 · 10-3 | 6,32 | 1,0 · 10-1 | 1,82 | 1,0 · 101 | 4,16 · 10-6 |
1,26 · 10-5 | 10,71 | 1,26 · 10-3 | 6,10 | 1,26 · 10-1 | 1,62 | 1,26 · 101 | 2,52 · 10-7 |
1,59 · 10-5 | 10,48 | 1,59 · 10-3 | 5,87 | 1,59 · 10-1 | 1,42 | 1,59 · 101 | 7,79 · 10-9 |
2,00 · 10-5 | 10,24 | 2,00 · 10-3 | 5,64 | 2,00 · 10-1 | 1,23 | 2,00 · 101 | 1,0 · 10-10 |
2,51 · 10-5 | 10,01 | 2,51 · 10-3 | 5,41 | 2,51 · 10-1 | 1,04 | 2,51 · 101 | 4,7 · 10-13 |
3,16 · 10-5 | 9,78 | 3,16 · 10-3 | 5,18 | 3,16 · 10-1 | 8,67 · 10-1 | 3,16 · 101 | 5,7 · 10-16 |
3,98 · 10-5 | 9,55 | 3,98 · 10-3 | 4,95 | 3,98 · 10-1 | 7,06 · 10-1 | 3,98 · 101 | 1,3 · 10-19 |
5,01 · 10-5 | 9,32 | 5,01 · 10-3 | 4,72 | 5,01 · 10-1 | 5,58 · 10-1 | 5,01 · 101 | 3,3 · 10-24 |
6,31 · 10-5 | 9,09 | 6,31 · 10-3 | 4,50 | 6,31 · 10-1 | 4,27 · 10-1 | 6,31 · 101 | 6,2 · 10-30 |
7,94 · 10-5 | 8,86 | 7,94 · 10-3 | 4,27 | 7,94 · 10-1 | 3,14 · 10-1 | 7,94 · 101 | 4,0 · 10-37 |
Wesentlich aufwendiger ist dagegen die inverse Fragestellung. Die Parameter T und S werden entweder mathematisch durch eine nichtlineare Inversionsrechnung bestimmt oder graphisch anhand von Standardkurven.
Nichtlineare Inversionsrechnung
Die Bestimmung der Parameter erfolgt durch eine Inversionsrechnung. Das Prinzip der linearen Inversion wurde bereits im Kapitel „Stationär“ anhand der Cooper-Jacob-Funktion erläutert und für wenige Messwerte durchgeführt. Hier wird entsprechend der nichtlinearen Modellfunkton nach Theis eine nichtlineare Inversionsrechnung angewendet.
Es wird gefordert, dass im Minimum (minimale Abweichung zwischen gemessener und theoretischer Absenkung) die Ableitungen Null sind. Da jedoch die partiellen Ableitungen der Theis-Funktion
von den Parametern T und S abhängen, können die Ableitungen nicht explizit berechnet werden. Eine direkte Lösung wie bei der linearen Inversion ist somit nicht möglich.
Es werden daher iterative Verfahren angewendet, bei denen vorgegebene Startparameter sukzessiv verbessert werden, bis je nach Abbruchkriterium keine Verbesserung mehr zu erwarten ist.
Es gibt keine eindeutige Lösung: Bei linearen Gleichungen ist die notwendige Bedingung, dass die Ableitungen im Minimum Null sind, gleichzeitig auch hinreichend. Dagegen können bei nichtlinearen Gleichungen prinzipiell auch mehrere lokale Minima existieren, wobei nur das globale Minimum auch die bestangepassten Parameter liefert.
Die Problematik ist vergleichbar mit einem Bergsteiger, der im Nebel das Tal sucht. Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten. Zum einen kann der Weg des steilsten Gradienten verfolgt werden (Gradientenverfahren), und zum anderen kann die Modellfunktion näherungsweise durch eine lineare Gleichung approximiert werden (Taylor-Verfahren). Eine dritte Möglichkeit kombiniert beide Verfahren (Marquardt-Verfahren).
Mit dem Gradientenverfahren wird ausgehend von einem Startwert der Weg des steilsten Abstiegs verfolgt. Diese Methode führt prinzipiell immer zum Minimum. Allerdings kann die Anzahl der benötigten Iterationsschritte sehr hoch sein. Vor allem im Bereich des Minimums, wo ein sehr geringer Gradient vorliegt, werden besonders viele Iterationsschritte für eine geringe Verbesserung benötigt. Bei einer langen talförmigen Ausbildung des Minimums ist es auch möglich, dass bei jedem Schritt die Talseite gewechselt wird, ohne dass sich die Distanz zum Minimum bedeutend verringert.
Das Taylor-Verfahren ist nach der Taylorentwicklung benannt, mit der nichtlineare Funktionen linearisiert werden. Mit dieser linearisierten Näherungsfunktion wird versucht, das Minimum direkt zu berechnen. Da jedoch diese Funktion nur eine Näherung ist, liegen die berechneten Parameter allgemein nicht im Minimum. Je größer die Entfernung zum Minimum, desto größer ist auch der Fehler der Linearisierung, so dass teilweise die Abweichungen so groß sein können, dass keine Konvergenz erreicht wird. Dagegen ist das Verfahren im Bereich des Minimums sehr effektiv.
Beide Minimierungsverfahren sind jeweils mit Vor- und Nachteilen behaftet: Zu Beginn der Inversionsrechnung, wenn die Parameter noch erheblich vom Minimum entfernt liegen, ist das Gradientenverfahren von Vorteil, da es stabil ist und kontinuierlich eine Verbesserung der Anpassung erzielt wird, wobei allerdings sehr viele Iterationsschritte benötigt werden. Wenn die Parameter schon gut angepasst sind, ist das Taylorverfahren von Vorteil, da es nur wenige Iterationsschritte benötigt. Es kann allerdings aufgrund numerischer Instabilität nur im Bereich des Minimums angewendet werden.
Das Marquardt-Verfahren kombiniert die Vorteile beider Verfahren. Es wendet bevorzugt das Taylor-Verfahren an, um möglichst wenige Iterationsschritte zu benötigen und es wichtet gegebenenfalls mehr das Gradientenverfahren, wenn mit dem Taylor-Vverfahren keine Verbesserung erzielt werden kann.
Zunächst wird das Taylorverfahren angewandt. Sollte keine Verbesserung der Parameter erzielt worden sein, wird zunehmend mehr das Gradientenverfahren gewichtet, bis eine Verbesserung erreicht wird. Letztendlich bewirkt die ausschließliche Anwendung des Gradientenverfahrens immer eine Verbesserung. Zu Beginn des nächsten Iterationsschrittes wird wieder das Taylorverfahren mehr gewichtet.

Abb. 1: Iterationswege bei einer nichtlinearen Inversionsrechnung.
Graphische Auswertung
Die graphische Auswertung für nichtlineare Modellfunktionen erfolgt anhand von Standardkurven. Dazu werden die Messwerte doppellogarithmisch aufgetragen. Am Beispiel der Theis-Funktion
Fortsetzung folgt …